Мы договорились не определять "мягкий мир", а стараться нащупать его. Дождаться момента, когда он сам проступит и станет очевидным. Целый месяц обсуждаем вопросы типа "а есть ли там гиперболичность?" и хотя очевидно, что нет, хочется пересмотреть еще раз, может она где-нибудь появится. Гиперболичность там, где гравитация, или там, где есть необходимость измерять. ММ лишен необходимости измерять себя и, быть может, даже оценивать, а гравитации там никакой тоже нет, хотя она может быть там введена как игра.
Существует когомологическая характеризация гиперболических групп Герстена: http://www.math.utah.edu/~sg/Papers/ch.pdf
но там l_\infty-когомологии, они строятся через "измерение" группы. По аналогии должны вводиться гиперболические кольца, группоиды, да хоть йордановы алгебры, но надо прикинуть, что мы хотим от гиперболической структуры. Естественно, малые централизаторы (вложенный тор портит картину), естественно, приближенность к свободным объектам (если они есть в категории). Кстати, у Герстена появляется еще метаболичность, она может быть более мягкой.
Вероятно, гиперболичность в ММ - это свойство покинутости: мягкая игрушка бесшумно летит в пропасть.
Недавно М. Куртов привел три категории эстетического: рассеянность, растерянность и пористость. В этой терминологии ММ является предельно пористым, но стоп! он ведь может сыграть в рассеянность и растерянность. Куртов ищет эти категории внутри карт, вместе с интенсивностью и экстенсивностью, и предлагает "раскрасить карту".
Может, гиперболичность - это рассеянность? Геодезические расходятся на бесконечности, это является по-сути причиной бесконечности свободных бернсайдовых групп, поведение системы на больших расстояниях напоминает рассеянные крупицы некогда целого, забывшего о себе навсегда, у них нет воли к обретению новой структуры, они улетают в...
Рассеянность - это поведение хаоса, если на него смотреть издалека и не касаться его локальных тем.
Растерянность - это состояние структуры "с придурью", она может имитировать рассеянность, но в нужный момент способна повернуться и выдать нехарактерное. Подобно узорам с очень глубокими разрывами. Ступень нильпотентности \beta_1 для p=5 для стабильных групп сфер равна 17. Если вы итерируете какую-то однообразную штуку, кидаете, скажем, монету, и она 16 раз подряд выпадает орлом, вы явно подумаете, что это закон и 17-й раз тоже будет орел. Такая гебефреничность. Вероятно, кто-то углядит также растерянность внутри плоских лабиринтов. Но плоские лабиринты не коварны, с ними обычно сразу все ясно, с них быстро слетают иллюзии.
Итак, у нас есть разные карты: 1) коммутативные диаграммы, 2) диаграммы Ван Кампена, 3) картинки Игусы, 4) графы Кэли.
На каждую можно смотреть как на карту путешествия, но структурно они будут разными (ну, 2) и 3) двойственны, остальные иные). 2) и 3) - пористые объекты, как операды, там возможны вклейки кусочков новой карты в поры предыдущей. В коммутативных диаграммах это тоже возможно, но другой ценой. Графы Кэли - это обычные карты путешествий, которые можно метризовать, понять, как далеко, как близко, все ли треугольники маленькие, ввести гиперболичность. Гиперболичность вводится на любой карте сразу же с появлением измерения.
Мы во-многом мыслим коммутативными диаграммами (у меня случались месяцы непрерывных игр в diagram chasing), в которых количество узлов не имеет никакого значения, важна возможность пути и еще качество стрелки. Качеств у нас, в общем, два: моно и эпи, все остальные стрелки дробятся на эти. Было бы интересно увидеть мир с большим набором принципиальных качеств. КД - пористы, но скорее тавтологически пористы, они не задумываются о своей пористости, в отличии от ДВК. Вы можете возразить, сказать, что все зависит от взгляда, при старании на ГК мы можем посмотреть как на КД, а КД можем метризовать. Можем-то-можем, толку-то.
Интенсивность в КД вполне может присутствовать. Например, при появлении 2-стрелок, стрелок между стрелками, 3-стрелок, и т д, как происходит в нынче модных \infty-группоидах или категориях, оснащенных группоидами. Пористость там в другую сторону: карта карт вполне является картой. Карта, отражающая взаимодействия карт, вполне вклеивается в карту. В любой момент тему можно заморозить и измерить, оценить, посмотреть на гиперболичность. Возможно, гиперболичность случается в фотографии ММ, в зафиксированном срезе.
Дальше же хочется сказать о совсем неожиданном. О сакральных местах, спрятанных местах, тайных местах. Для меня сейчас важна эта тема: возможность существования тайников внутри структуры. Это могут быть области, к которым ведут малые и запутанные пути, у врат присутствует стража, проникновение в которые возможно в результате сложных трансформаций, выворачивания структуры наизнанку или знания кода. Тайник не является пористым, он не должен допускать привычные эстетические оценки, он спрятан даже для того, кто перед ним. Расположения и взаимоотношения тайников вполне могут порождать новые структурные типы.
Существует когомологическая характеризация гиперболических групп Герстена: http://www.math.utah.edu/~sg/Papers/ch.pdf
но там l_\infty-когомологии, они строятся через "измерение" группы. По аналогии должны вводиться гиперболические кольца, группоиды, да хоть йордановы алгебры, но надо прикинуть, что мы хотим от гиперболической структуры. Естественно, малые централизаторы (вложенный тор портит картину), естественно, приближенность к свободным объектам (если они есть в категории). Кстати, у Герстена появляется еще метаболичность, она может быть более мягкой.
Вероятно, гиперболичность в ММ - это свойство покинутости: мягкая игрушка бесшумно летит в пропасть.
Недавно М. Куртов привел три категории эстетического: рассеянность, растерянность и пористость. В этой терминологии ММ является предельно пористым, но стоп! он ведь может сыграть в рассеянность и растерянность. Куртов ищет эти категории внутри карт, вместе с интенсивностью и экстенсивностью, и предлагает "раскрасить карту".
Может, гиперболичность - это рассеянность? Геодезические расходятся на бесконечности, это является по-сути причиной бесконечности свободных бернсайдовых групп, поведение системы на больших расстояниях напоминает рассеянные крупицы некогда целого, забывшего о себе навсегда, у них нет воли к обретению новой структуры, они улетают в...
Рассеянность - это поведение хаоса, если на него смотреть издалека и не касаться его локальных тем.
Растерянность - это состояние структуры "с придурью", она может имитировать рассеянность, но в нужный момент способна повернуться и выдать нехарактерное. Подобно узорам с очень глубокими разрывами. Ступень нильпотентности \beta_1 для p=5 для стабильных групп сфер равна 17. Если вы итерируете какую-то однообразную штуку, кидаете, скажем, монету, и она 16 раз подряд выпадает орлом, вы явно подумаете, что это закон и 17-й раз тоже будет орел. Такая гебефреничность. Вероятно, кто-то углядит также растерянность внутри плоских лабиринтов. Но плоские лабиринты не коварны, с ними обычно сразу все ясно, с них быстро слетают иллюзии.
Итак, у нас есть разные карты: 1) коммутативные диаграммы, 2) диаграммы Ван Кампена, 3) картинки Игусы, 4) графы Кэли.
На каждую можно смотреть как на карту путешествия, но структурно они будут разными (ну, 2) и 3) двойственны, остальные иные). 2) и 3) - пористые объекты, как операды, там возможны вклейки кусочков новой карты в поры предыдущей. В коммутативных диаграммах это тоже возможно, но другой ценой. Графы Кэли - это обычные карты путешествий, которые можно метризовать, понять, как далеко, как близко, все ли треугольники маленькие, ввести гиперболичность. Гиперболичность вводится на любой карте сразу же с появлением измерения.
Мы во-многом мыслим коммутативными диаграммами (у меня случались месяцы непрерывных игр в diagram chasing), в которых количество узлов не имеет никакого значения, важна возможность пути и еще качество стрелки. Качеств у нас, в общем, два: моно и эпи, все остальные стрелки дробятся на эти. Было бы интересно увидеть мир с большим набором принципиальных качеств. КД - пористы, но скорее тавтологически пористы, они не задумываются о своей пористости, в отличии от ДВК. Вы можете возразить, сказать, что все зависит от взгляда, при старании на ГК мы можем посмотреть как на КД, а КД можем метризовать. Можем-то-можем, толку-то.
Интенсивность в КД вполне может присутствовать. Например, при появлении 2-стрелок, стрелок между стрелками, 3-стрелок, и т д, как происходит в нынче модных \infty-группоидах или категориях, оснащенных группоидами. Пористость там в другую сторону: карта карт вполне является картой. Карта, отражающая взаимодействия карт, вполне вклеивается в карту. В любой момент тему можно заморозить и измерить, оценить, посмотреть на гиперболичность. Возможно, гиперболичность случается в фотографии ММ, в зафиксированном срезе.
Дальше же хочется сказать о совсем неожиданном. О сакральных местах, спрятанных местах, тайных местах. Для меня сейчас важна эта тема: возможность существования тайников внутри структуры. Это могут быть области, к которым ведут малые и запутанные пути, у врат присутствует стража, проникновение в которые возможно в результате сложных трансформаций, выворачивания структуры наизнанку или знания кода. Тайник не является пористым, он не должен допускать привычные эстетические оценки, он спрятан даже для того, кто перед ним. Расположения и взаимоотношения тайников вполне могут порождать новые структурные типы.