Раз этап более-менее закончен, напишу открыто о некоторых вопросах теории гомотопических групп сфер. Под замком это писал, в общем.
Гомотопические группы сфер являют странный текст. Узор-орнамент - это текст. Можно, конечно, не пытаться его читать, а лишь ужасаться, глядя на его сложность, присасываясь к более приручаемым структурам. Но я когда-то зафанател, году в 2006-м, так и не могу отойти от этой темы.
Итак, всю ту идеологию тайных фильтраций и хищных-жидких спектралок мы пытались реализовывать. Плоды есть. Вот эта работа, хотя и делается классикой, была увидена из спектралок
http://arxiv.org/abs/1506.00952Мы занимаемся 3-кручением в S^2 (или S^3). Почему 3-кручение? Потому что там все делится на 2-кручение и нечетное кручение, и все нечетное кручение ведет себя более-менее похоже, а с 3-кручения все начинается. И нечетное простое кручение для 2-сферы не склеивается в высокие экспоненты, в отличии от 2-кручения (в группах могут быть Z/4-слагаемые, все эти возможные склейки дают дополнительную нагрузку). Конечно, в стабильных размерностях, там, где проявляется субкультура греческих букв, начинаются тонкости, там не все нечетное кручение ведет себя одинаково.
Субкультура греческих букв - скелет теории стабильных групп сфер.
Альфа-серии - очень приятны, очень понятны, их сделали Тода, Адамс, все красиво расписали.
Бета-серии - уже менее понятны. Для p>3 их сделал Ларри Смит, для p=3 они существуют в хитрых размерностях, как показано в диссере Пеммараджу.
Гамма-серии для p>5 сделал Тода, а вот для p=5, нетривиальность \gamma_1 была сложной проблемой, ее решили Томас-Залер, показали, что элемент есть. И там случилась какая-то мутная история, по поводу которой написали New York Times и Science.
http://math.stackexchange.com/questions/411160/curious-remark-of-d-ravenelДальше греческие буквы идут совсем тяжело, не то, что за каждую новую серию ведется борьба, а за отдельные элементы.
В общем, комбинации греческих букв и делают нечетное кручение в стабильных группах сфер. При этом, ступень нильпотентности этих элементов неясна (она есть по Нишиде). Например, нильпотентность \beta_1 для p=5 - это 17.
Есть два крайних мира: стабильный и сильно нестабильный - группы S^2. Группы S^2 - крайность, именно поэтому есть шанс расшифровать узор. При переходе к S^5, S^7 и т д узоры сильно деформируются.
Год назад нарисовал картинку с кирпичиками-лужами-червячками, пытался выстроить нумерологию-эзотерику этих узоров. Так выглядит 3-кручение в гомотопических группах S^2 (до конца листа тетрадки, т.е. до 64-й группы).
![]()
У Тоды и его школы 3-кручение сделано до 45-й группы у S^2. На картинке видно, что в 48-й группе есть дыра 3-кручения. Полагаю, это последняя размерность, где есть дыра 3-кручения.
Такие картинки получаются из спектралки. Вот, спектралка уже далеко
![spheres]( "spheres")
Когда-то думал, если принцип фильтрованной хищности покроет все известные группы 2-сферы, то устрою праздник, буду прыгать и радоваться. Он уже давным-давно все известное покрыл. Если и дальше он работает, то в 80-й группе S^2 всего две копии Z/3. Представляете! Всего две копии. Возьмите что-угодно растущее, на 80-м шаге это уже будет о-го-го. Человек в 80 лет уже вообще. А тут всего две копии, как в 26-й группе.
Группы сфер - маленькие. Объяснить, почему они такие маленькие - это задача. В 90-й группе \pi_{90}(S^2) четыре копии Z/3 (тода, 1-элемент суши, 0-элемент из 10-перидических островов и 3-верхняя блуждающая). Пока что это предел видения, но это ненадолго.
На этой картинке видны две области: суша и море. Суша регулярна, ее мы можем описать, она очень логична, в ней живут серии элементов Тоды, сэндвичи, которые тоже нетривиальны, и еще несколько регулярных луж. Вся сложность лежит в области моря - на островках.
В море видны разные аттракторы, за которыми тянется "сухая регулярность". Эти аттракторы являются бесконечными сериями разного вида. Они должны явно описаться. Например, элементы на языке лямбда-каши имеющие две лямбды - такие аттракторы в море. В стабильной размерности 70 появляется такой элемент со старшим членом m_1m_2m_4m_4l_4l_3. Такие и дальше пойдут. А все циклы с ровно одной лямбдой мы описали, используя крайне нетривиальную работу Айкавы про когомологии алгебры Стинрода 80-го года. Для 2-сферы это лишь элементы Тоды, для высших сфер есть и другие, они связаны с отображением Хопфа.
Дальше же должна проявиться фрактальность: малое будет вести себя как большое, большое - как малое. Вряд ли получатся разумные рекурентные формулы, но общее представление о поведении спектралки должно прийти. Вероятно, срубит эту тему тот, кто посмотрит на этот узор как на метрическое пространство, и выстроит самопоедание как строгий закон преобразования этого метрического пр-ва. И тут опять же, шансы есть для S^2, для петель над S^2 есть очень уж гармоничная симплициальная модель F[S^1], с которой можно работать. Одно из хитрых наблюдений-замечаний, сделанных за последние полгода. Количество лямбд в слове как производном функторе можно посчитать через количество четных вхождений порождающих в симплициальные циклы (видно экспериментально, что это так, но не можем доказать - начинается дикая теория групп). Узор для 2-3-сферы зажат, предельно нестабилен, у него нет лишних свобод для шевелений, поэтому есть хоть какой-то шанс его подцепить. Для 5-мерной сферы узор портится. А стабильный узор имеет совсем другую природу, там все эти греческие буквы. Кстати, некоторые греческие буквы дают следы в картине для 2-сферы (из EHP-посл-ти и трюка Тоды), мы их видим чистыми лямбдами, их надо описать, само собой.
Что в принципе реально увидеть людям (лет за 10) в гомотопическом тексте. Думаю, что следующее:
* возьмем какое-нибудь пространство, у которого нет Z/27-кручения, но есть Z/9-кручение. Например, любое Z/3-пространство Мура или 5-мерную сферу. Описать именно Z/9-кручение, игнорируя прямые слагаемые Z/3.
* описать все элементы групп сфер с достаточно большой длиной Адамса (насколько она должна быть формально большой - непонятно, но на нашем языке это "суша")
* Полностью сделать 2-й лист спектралки, задать его явно.
* Получить новые оценки (возможно, полиномиальные) на рост групп сфер.
* Естественно, получить кучу новых серий нестабильных элементов, с тривиальными инвариантами Адамса.
* Доказать, что у S^2, во всех группах >48 есть нетривиальное 3-кручение.
Ну, а за прочтение узора для S^2 будут биться фанаты.
